9936. Точка D
равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ABC
(\angle ACB=90^{\circ}
). На отрезке DC
отметили точку M
, для которой CM:MD=2:1
. Плоскость, проходящая через точку M
перпендикулярно плоскости ABC
, пересекает отрезок BC
в точке K
. Найдите отношение BK:KC
.
Ответ. 1:1
.
Решение. Наклонные DA
, DB
и DC
, проведённые к плоскости ABC
из точки D
, равны, поэтому основание H
перпендикуляра DH
к этой плоскости равноудалено от вершин треугольника ABC
, т. е. H
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 7163). Этот треугольник прямоугольный, поэтому точка H
— середина его гипотенузы AB
.
Опустим перпендикуляр MN
из точки M
на катет CH
прямоугольного треугольника CHD
. Тогда MN\parallel DH
, значит, MN
тоже перпендикуляр к плоскости ABC
. Плоскость AMN
проходит через перпендикуляр к плоскости ABC
, следовательно, плоскости AMN
и ABC
перпендикулярны (см. задачу 7710). Значит, плоскость AMN
совпадает с плоскостью, о которой говорится в условии задачи. По теореме о пропорциональных отрезках CN:NH=CM:MD=2:1
, а так как CH
— медиана треугольника ABC
, то N
— точка пересечения медиан этого треугольника (см. задачу 1207).
Прямая AN
, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC
, пересекает катет BC
в точке K
, значит, AK
— тоже медиана треугольника ABC
. Следовательно, BK:KC=1:1
.