9957. В тетраэдре ABCD
известно, что AB=CD=a
, AC=BD=b
, BC=AD=c
. Найдите расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. \sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}
.
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед данного тетраэдра (см. задачу 7041). Поскольку тетраэдр равногранный (см. задачу 7266), этот параллелепипед — прямоугольный (см. задачу 7994). AB
и CD
— скрещивающиеся диагонали его противоположных граней, значит, расстояние между прямыми AB
и CD
равно расстоянию между плоскостями этих граней, т. е. длине x
ребра, перпендикулярного этим плоскостям.
Пусть длины рёбер, перпендикулярным двум другим непараллельным граням, равны y
и z
. Тогда
\syst{y^{2}+z^{2}=a^{2}\\x^{2}+y^{2}=b^{2}\\x^{2}+z^{2}=c^{2}.\\}
Сложим почленно второе и третье уравнения системы и вычтем из результата первое. Получим
2x^{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2}.
Следовательно,
x=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}.