9979. Ребро AB
и высота SO
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
соответственно равны 8
и 4
. Точка K
— середина ребра CD
. Найдите расстояние между прямыми SK
и AC
.
Ответ. \frac{4}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AD
. Тогда KM
— средняя линия треугольника ADC
, поэтому отрезок KM
проходит через середину N
отрезка OD
. Значит,
ON=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{4}BD=\frac{1}{4}\cdot8\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Поскольку KM\parallel AC
, прямая AC
параллельна плоскости KSM
(см. задачу 8002), поэтому расстояние между прямыми SK
и AC
равно расстоянию от любой точки прямой AC
до плоскости KSM
, например, от точки O
(см. задачу 7889).
Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника SON
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости KSM
, и расстояние d
от точки O
до этой плоскости, а значит, и расстояние между прямыми SK
и AC
, равно длине отрезка OH
. Следовательно (см. задачу 1967),
d=OH=\frac{ON\cdot SO}{SN}=\frac{ON\cdot SO}{\sqrt{ON^{2}+SO^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot4}{\sqrt{8+16}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Примечание. Ортогональная проекция прямой SK
на плоскость BSD
, перпендикулярную прямой AC
, — прямая SN
. Значит, расстояние между прямыми SK
и AC
равно расстоянию от точки O
до прямой SN
(см. задачу 8406), т. е. длине того же отрезка OH
.