9980. Ребро AB
и высота SO
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
соответственно равны 4
и 3\sqrt{2}
. Точка K
— середина ребра EF
. Найдите расстояние между прямыми SK
и BE
.
Ответ. \frac{3\sqrt{14}}{7}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и AL
. Тогда KM
— средняя линия трапеции ABEF
с основаниями BE
и AF
, поэтому отрезок KM
проходит через середину N
отрезка OL
, а так как OL
— высота равностороннего треугольника AOF
, то
ON=\frac{1}{2}OL=\frac{1}{2}\cdot\frac{AF\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{3}=\sqrt{3}.
Поскольку KM\parallel AC
, прямая BE
параллельна плоскости KSM
(см. задачу 8002), поэтому расстояние между прямыми SK
и BE
равно расстоянию от любой точки прямой BE
до плоскости KSM
, например, от точки O
(см. задачу 7889). Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника SON
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости KSM
, и расстояние d
от точки O
до этой плоскости, а значит, и расстояние между прямыми SK
и BE
, равно длине отрезка OH
. Следовательно (см. задачу 1967),
d=OH=\frac{ON\cdot SO}{SN}=\frac{ON\cdot SO}{\sqrt{ON^{2}+SO^{2}}}=\frac{\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}}{\sqrt{3+18}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{14}}{7}.
Примечание. Ортогональная проекция прямой SK
на плоскость SOL
, перпендикулярную прямой BE
, — прямая SN
. Значит, расстояние между прямыми SK
и BE
равно расстоянию от точки O
до прямой SN
(см. задачу 8406), т. е. длине того же отрезка OH
.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 21.42, с. 228