9987. На ребре AB
тетраэдра ABCD
отметили точку K
, для которой AK=2BK
. Известно, что AB=AC=13
, BC=CD=DB=15
, AD=14
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K
перпендикулярно прямой AD
. Найдите площадь этого сечения.
Ответ. 5\sqrt{39}
.
Решение. Из середины M
ребра BC
опустим перпендикуляр MN
на прямую AD
. Пусть DH
— высота тетраэдра. Ортогональные проекции HB
и HC
на плоскость ABC
равных наклонных DB
и DC
равны, поэтому точка H
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
равнобедренного треугольника ABC
, т. е. на прямой AM
. По теореме о трёх перпендикулярах (см. задачу 7707) BC\perp AD
, поэтому плоскость BNC
перпендикулярна прямой AD
(см. задачу 7700). Значит, плоскость сечения, о которой говорится в условии задачи, параллельна плоскости BNC
.
Пусть L
, P
и Q
— точки пересечения этой плоскости с рёбрами соответственно AC
, AD
и отрезком MN
. Тогда по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) KL\parallel BC
и QP\parallel MN
. Тогда
AP:PN=AQ:QM=AK:KB=2:1.
Поскольку AD
— перпендикуляр к плоскости BNC
, отрезок BN
— высота треугольника ABD
со сторонами AB=13
, BD=15
, AD=14
. Пусть p
— полупериметр этого треугольника, S
— площадь. Тогда p=\frac{1}{2}(13+14+15)=21
. По формуле Герона (см. задачу 2730)
S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=7\cdot3\cdot4=84,
поэтому
BN=\frac{2S}{AD}=\frac{2\cdot84}{14}=12.
Тогда
AN=\sqrt{AB^{2}-BN^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,~AP=\frac{2}{3}AN=\frac{10}{3},
PD=AD-AP=14-\frac{10}{3}=\frac{32}{3},~AP:PD=10:32=5:16.
Следовательно, искомое сечение — равнобедренный треугольник KPL
, где точки L
и P
лежат на рёбрах AC
и AD
соответственно, причём PL:LC=2:1
и AP:PD=5:16
.
Вершины этого треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки, используя теорему о пропорциональных отрезках.
Из прямоугольного треугольника BNM
находим, что
MN=\sqrt{BN^{2}-BM^{2}}=\sqrt{12^{2}-\left(\frac{15}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{24^{2}-15^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{9\cdot39}=\frac{3}{2}\sqrt{39}.
Треугольник KPL
подобен треугольнику BNC
с коэффициентом \frac{KL}{BC}=\frac{2}{3}
, следовательно,
S_{\triangle KPL}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{\triangle BNC}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot MN=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot15\cdot\frac{3}{2}\sqrt{39}=5\sqrt{39}.