9999. Точка M
— середина ребра BC
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите угол и расстояние между прямыми BA_{1}
и MB_{1}
.
Ответ. \arccos\sqrt{\frac{2}{5}}
; \frac{1}{\sqrt{6}}
.
Решение. Пусть N
— середина ребра AD
. Тогда NA_{1}\parallel MB_{1}
, поэтому угол \alpha
между скрещивающимися прямыми BA_{1}
и MB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми BA_{1}
и A_{1}N
, т. е. углу BA_{1}N
или смежному с ним углу.
По теореме Пифагора
A_{1}N=BN=\sqrt{AB^{2}+AN^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},
а так как треугольник BA_{1}N
равнобедренный, то
\cos\alpha=\cos\angle BA_{1}N=\frac{\frac{1}{2}AB_{1}}{BN}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}.
Следовательно, \alpha=\arccos\sqrt{\frac{2}{5}}
.
Поскольку NA_{1}\parallel MB_{1}
, прямая MB_{1}
параллельна плоскости BA_{1}N
, поэтому расстояние d
между скрещивающимися прямыми BA_{1}
и MB_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой MB_{1}
, например, от точки M
, до плоскости BA_{1}N
(см. задачу 7889), а так как наклонная AM
к плоскости BA_{1}N
делится этой плоскостью пополам, то d
равно расстоянию от точки A
до плоскости BA_{1}N
(см. задачу 9180).
Пусть AP
— высота прямоугольного треугольника ABN
. Тогда (см. задачу 1967)
AP=\frac{AB\cdot AN}{BN}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Пусть AH
— высота прямоугольного треугольника APA_{1}
. Тогда AH\perp A_{1}P
и AH\perp BN
, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AH
— перпендикуляр к плоскости BA_{1}N
. Следовательно,
d=AH=\frac{AP\cdot AA_{1}}{A_{1}P}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot1}{\sqrt{1+\frac{1}{5}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.