10165. Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника
ABC
равны
R
и
r
соответственно;
O
и
I
— центры этих окружностей. Биссектриса внешнего угла при вершине
C
пересекает прямую
AB
в точке
P
. Точка
Q
— проекция точки
P
на прямую
OI
. Найдите расстояние
OQ
.
Ответ.
\frac{R(R+r)}{\sqrt{R^{2}-2rR}}
.
Решение. Пусть
A'
,
B'
,
C'
— центры вневписанных окружностей треугольника
ABC
, касающихся сторон
BC
,
AC
и
AB
соответственно. Тогда треугольник
A'B'C'
остроугольный (см. задачу 4770),
A'A
,
B'B
и
C'C
— его высоты (углы
A'BB'
,
A'CC'
и
B'AA'
прямые как углы между биссектрисами смежных углов),
I
— ортоцентр треугольника
A'B'C'
, а так как
A
,
B
и
C
— основания его высот, то описанная окружность
\Omega
треугольника
ABC
является окружностью девяти точек треугольника
A'B'C'
(см. задачу 174). Следовательно, радиус описанной окружности
\Omega'
треугольника
A'B'C'
равен
2R
.
Пусть
O'
— центр описанной окружности треугольника
A'B'C'
. Тогда центр
O
окружности девяти точек треугольника
A'B'C'
— середина отрезка
O'I
. Кроме того, из точек
A
и
B
отрезок
A'B'
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности
\Omega''
диаметром
A'B'
.
Отрезок
AB
является общей хордой окружностей
\Omega
и
\Omega''
, а отрезок
A'B'
— общей хордой окружностей
\Omega''
и
\Omega'
. Значит, прямая
AB
— радикальная ось окружностей
\Omega
и
\Omega''
, а прямая
A'B'
— радикальная ось окружностей
\Omega''
и
\Omega'
(см. задачу 6391). Точка
P
пересечения этих прямых — радикальный центр окружностей
\Omega
,
\Omega'
и
\Omega''
(см. задачу 6393), а прямая
PQ
— радикальная ось окружностей
\Omega
и
\Omega'
(так как проходит через радикальный центр
P
перпендикулярно линии центров
OO'
окружностей
\Omega
и
\Omega'
). Следовательно,
OQ^{2}-R^{2}=O'Q^{2}-4R^{2},~\mbox{или}~OQ^{2}-R^{2}=(OQ+OO')^{2}-4R^{2}.

Поскольку
O'O^{2}=OI^{2}=R^{2}-2Rr
(см. задачу 126), после очевидных преобразований получаем, что
OQ=\frac{R(R+r)}{\sqrt{R^{2}-2rR}}.

Автор: Заславский А. А.
Автор: Акопян А. В.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2009, 10 класс
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2009, V, финальный тур, № 3, 10 класс