10178. Три прямые проходят через точку O
и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A_{1}
и A_{2}
, на другой — B_{1}
и B_{2}
так, что точка C_{1}
пересечения прямых A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
лежит на третьей прямой. Пусть C_{2}
— точка пересечения прямых A_{1}B_{2}
и A_{2}B_{1}
. Докажите, что угол C_{1}OC_{2}
прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть C_{3}
— точка пересечения прямых OC_{1}
и A_{2}B_{1}
. По теореме Чевы, применённой к треугольнику OA_{2}B_{1}
и точке C_{1}
(см. задачу 1621),
\frac{OA_{1}}{A_{1}A_{2}}\cdot\frac{A_{2}C_{3}}{C_{3}B_{1}}\cdot\frac{B_{1}B_{2}}{B_{2}O}=1.
По теореме Менелая, применённой к тому же треугольнику и прямой A_{1}B_{2}
(см. задачу 1622),
\frac{OA_{1}}{A_{1}A_{2}}\cdot\frac{A_{2}C_{2}}{C_{2}B_{1}}\cdot\frac{B_{1}B_{2}}{B_{2}O}=1.
Учитывая, что OC_{3}
— биссектриса треугольника OA_{2}B_{1}
, из этих равенств получим, что
\frac{A_{2}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{A_{2}C_{3}}{C_{3}B_{1}}=\frac{OA_{2}}{OB_{1}}.
Значит, OC_{2}
— биссектриса внешнего угла при вершине O
треугольника A_{2}OB_{1}
(см. замечание к задаче 1645). Следовательно, \angle C_{2}OC_{3}=90^{\circ}
(см. задачу 937).
Аналогично для любого другого случая.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2009, 9-11 классы