10247. В треугольник ABC
вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне треугольника ABC
. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
(рис. 1); A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
— высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда стороны треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
: B_{2}C_{2}\parallel BC
, A_{2}C_{2}\parallel AC
, A_{2}B_{2}\parallel AB
(см. задачу 700).
Пусть M
— середина отрезка B_{1}C_{1}
. Тогда отрезки MB_{2}
и MC_{2}
— медианы прямоугольных треугольников B_{1}B_{2}C_{1}
и C_{1}C_{2}B_{1}
с общей гипотенузой B_{1}C_{1}
. Значит, MB_{2}=MC_{2}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}
(см. задачу 1109), поэтому прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно B_{2}C_{2}
, есть серединный перпендикуляр к стороне B_{2}C_{2}
треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Аналогично для сторон A_{2}B_{2}
и A_{2}C_{2}
.
Поскольку BC\parallel B_{1}C_{1}
, перпендикуляр, опущенный из середины отрезка B_{1}C_{1}
на прямую BC
, совпадает с перпендикуляром, опущенным из точки M
на прямую B_{2}C_{2}
, т. е. с серединным перпендикуляром к B_{2}C_{2}
. Аналогично для двух других перпендикулярах, о которых говорится в условии задачи. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
пересекаются в одной точке. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Часть конструкции, описанной в условии задачи, показана на рис. 2. Поскольку стороны исходного треугольника являются касательными к описанной окружности треугольника, образованного точками касания, то задачу удобно переформулировать.
Рассмотрим треугольник ABC
и его описанную окружность (рис. 3). Проведём к ней касательную l
в точке A
, а из середины M
стороны BC
проведём прямую a
, перпендикулярную l
. Аналогично определим прямые b
и c
. Требуется доказать, что прямые a
, b
и c
пересекаются в одной точке.
Заметим, что OA\parallel a
, так как они обе перпендикулярны к l
. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, E
— середина AH
. Из того, что OM\parallel AH
и известного соотношения AH=2OM
(см. задачу 1257) следует, что OAEM
и OEHM
— параллелограммы (их противолежащие стороны равны и параллельны). Тогда ME\perp l
, т. е. прямые ME
и a
совпадают. Из параллелограмма OEHM
получим, что ME
содержит точку P
— середину отрезка OH
.
Проведя аналогичные рассуждения, получим, что прямые b
и c
также проходят через точку P
. Таким образом, прямые a
, b
и c
пересекаются в одной точке.
Примечание. Отметим, что точка P
является центром окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), а ME
— один из её диаметров. Эти факты можно также использовать в заключительной части рассуждения.