10261. Вершина C
прямого угла треугольника ABC
лежит внутри окружности с центром O
и радиусом R
, проходящей через концы гипотенузы AB
, CH
— высота треугольника ABC
. На прямой AB
взята точка K
так, что KH=OH
. Найдите CK
.
Ответ. R
.
Решение. Первый способ. По теореме Пифагора CK^{2}=CH^{2}+KH^{2}
. Отрезок CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая к гипотенузе, поэтому CH^{2}=AH\cdot BH
(см. задачу 2728).
Через точку H
проведём диаметр PQ
данной окружности (рис. 1). Тогда
AH\cdot BH=PH\cdot QH=(R-OH)(R+OH)=R^{2}-OH^{2}
(см. задачу 2627). Учитывая, что KH=OH
, получим, что
CK^{2}=CH^{2}+KH^{2}=AH\cdot BH+OH^{2}=
=(R^{2}-OH^{2})+OH^{2}=R^{2}.
Следовательно, CK=R
.
Второй способ. Пусть D
— образ точки C
при симметрии относительно прямой AB
(рис. 2). Рассмотрим окружность \omega_{1}
, описанную около треугольника ABC
, и окружность \omega_{2}
с центром K
и радиусом KC
. Точки C
и D
принадлежат обеим окружностям, значит, прямая CD
— их радикальная ось (см. задачу 6391). Аналогично, прямая AB
— радикальная ось данной окружности \omega
и окружности \omega_{1}
. Следовательно, общая точка H
этих прямых — радикальный центр окружностей \omega
, \omega_{1}
и \omega_{2}
(см. задачу 6393), т. е. H
принадлежит общей хорде окружностей \omega
и \omega_{2}
.
Поскольку точка H
равноудалена от центров O
и K
окружностей \omega
и \omega_{2}
, радиусы окружностей равны. Следовательно, CK=R
.
Источник: Московская математическая регата. — 2007-2008, 10 класс