10299. В треугольнике ABC
точка M
— середина стороны AC
, MD
и ME
— биссектрисы треугольников ABM
и CBM
соответственно. Отрезки BM
и DE
пересекаются в точке F
. Найдите MF
, если DE=7
.
Ответ. 3,5.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM},~\frac{CE}{BE}=\frac{CM}{BM},
а так как по условию AM=CM
, то \frac{AD}{BD}=\frac{CE}{BM}
. Следовательно, DE\parallel AC
(из подобия треугольников DBE
и ABC
). Тогда F
— середина отрезка DE
(см. задачу 2607).
Поскольку MD
и ME
— биссектрисы смежных углов, треугольник DME
прямоугольный (см. задачу 937). Его медиана MF
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы DE
(см. задачу 1109). Следовательно,
MF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot7=3{,}5.