10400. Дана неравнобокая трапеция ABCD
(AB\parallel CD
). Произвольная окружность, проходящая через точки A
и B
, пересекает боковые стороны трапеции в точках P
и Q
, а диагонали — в точках M
и N
. Докажите, что прямые PQ
, MN
и CD
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции, а точки M
и N
лежат на отрезках DO
и CO
соответственно (см. рисунок).
Четырёхугольник APQB
вписанный, поэтому
\angle DPQ=\angle ABC=180^{\circ}-\angle DCQ,
значит, четырёхугольник DPQC
тоже вписанный. Аналогично
\angle MNA=\angle MBA=\angle CDM.
Значит, и четырёхугольник DMNC
вписанный.
Итак, есть три окружности, описанные около четырёхугольников APQB
, DPQC
и DMNC
, а PQ
, MN
и CD
— их общие хорды. Следовательно, прямые PQ
, MN
и CD
пересекаются в одной точке (см. задачу 2844).
Для другого расположения точек M
и N
доказательство аналогично.
Примечание. Прямые PQ
, MN
и CD
— радикальные оси пар данных окружностей (см. задачи 6391 и 6392), а точка их пересечения — радикальный центр (см. задачу 6393).
Отметим также, что из свойств проективных преобразований следует, что утверждение задачи верно и для произвольного четырёхугольника.