10465. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC
касается сторон AB
, BC
и AC
в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
соответственно. Описанная окружность треугольника A_{1}BC_{1}
пересекает прямые B_{1}A_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках A_{0}
и C_{0}
соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника A_{0}BC_{0}
, центр вписанной окружности треугольника ABC
и середина стороны AC
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, H
— ортоцентр треугольника A_{0}BC_{0}
, K
— середина A_{0}C_{0}
, M
— середина AC
. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника A_{0}BC_{0}
. Заметим, что точка I
диаметрально противоположна точке B
(поскольку \angle BC_{1}I=90^{\circ}
). Следовательно, точки H
и I
симметричны относительно K
(см. задачу 6300). Значит, достаточно доказать, что точки M
, I
и K
лежат на одной прямой. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Используем следующий факт. Прямая MI
делит BB_{1}
пополам, так как эта прямая содержит среднюю линию треугольника BB_{1}T
, где T
— точка касания вневписанной окружности со стороной AC
(см. задачу 6411). Докажем, что середины A_{0}C_{0}
и BB_{1}
совпадают, т. е. BA_{0}B_{1}C_{0}
— параллелограмм (рис. 1).
Заметим, что из равенства вписанных углов и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle A_{0}C_{0}B=\angle A_{0}A_{1}B=\angle CA_{1}B_{1}=\angle CB_{1}A_{1}=\angle B_{1}C_{1}A_{1}=\angle C_{0}A_{0}A_{1},
откуда следует параллельность BC_{0}
и B_{1}A_{0}
. Аналогично для другой пары сторон.
Для других случаев расположения точек A_{0}
и C_{0}
доказательство аналогично.
Следовательно, точки M
, I
и K
лежат на одной прямой.
Второй способ. Используем следующий факт (см. задачу 58). Проекция вершины треугольника на биссектрису угла лежит на прямой, проходящей через точки касания вписанной окружности этого треугольника (рис. 2). Точка C_{0}
лежит на средней линии треугольника, параллельной стороне AC
(точка K
— середина BB_{1}
, а так как по доказанному в первом способе \angle C_{0}A_{0}A_{1}=\angle CB_{1}A_{1}
, то A_{0}C_{0}\parallel AC
).
Заметим, что точка A_{0}
лежит на прямой A_{1}B_{1}
, соединяющей точки касания вписанной окружности треугольника ABC
, и не совпадает ни с A_{1}
, ни с B_{1}
. При этом \angle BA_{0}A=\angle BA_{0}I=90^{\circ}
. Значит, A_{0}
— точка из задачи 58. Аналогично для точки C_{0}
.
Точки A_{0}
и C_{0}
лежат на средней линии треугольника ABC
, параллельной стороне AC
, значит, AC_{0}A_{0}C
— трапеция. Середины M
и K
её оснований AC
и A_{0}C_{0}
и точка I
пересечения её диагоналей лежат на одной прямой (см. задачу 1513). Что и требовалось доказать.
Для других случаев расположения точек A_{0}
и C_{0}
доказательство аналогично.