10539. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. BL
и CN
— биссектрисы треугольников ABD
и ACD
соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников ABL
и CDN
, пересекаются в точках P
и Q
. Докажите, что прямая PQ
проходит через середину дуги AD
, не содержащей точку B
.
Решение. Пусть M
— середина дуги AD
. Тогда прямые BL
и CN
проходят через точку M
(см. задачу 430). Кроме того, из равенства дуг AM
и DM
следует, что
\angle ALB=\frac{1}{2}(\smile AB+\smile DM)=\frac{1}{2}\smile BAM=\angle BCM
(см. задачу 26), и, значит, четырёхугольник BCNL
вписанный. Значит, ML\cdot MB=MN\cdot MC
(см. задачу 2636). Следовательно, точка M
лежит на радикальной оси PQ
описанных окружностей треугольников ABL
и CDN
(см. задачу 6392).