10539. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность.
BL
и
CN
— биссектрисы треугольников
ABD
и
ACD
соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников
ABL
и
CDN
, пересекаются в точках
P
и
Q
. Докажите, что прямая
PQ
проходит через середину дуги
AD
, не содержащей точку
B
.
Решение. Пусть
M
— середина дуги
AD
. Тогда прямые
BL
и
CN
проходят через точку
M
(см. задачу 430). Кроме того, из равенства дуг
AM
и
DM
следует, что
\angle ALB=\frac{1}{2}(\smile AB+\smile DM)=\frac{1}{2}\smile BAM=\angle BCM

(см. задачу 26), и, значит, четырёхугольник
BCNL
вписанный. Значит,
ML\cdot MB=MN\cdot MC
(см. задачу 2636). Следовательно, точка
M
лежит на радикальной оси
PQ
описанных окружностей треугольников
ABL
и
CDN
(см. задачу 6392).
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, финальный тур, второй день, № 5, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 28
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 278, с. 38
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет Харьковского ГУ. —