10542. В угол с вершиной C
вписана окружность. Рассматриваются окружности, проходящие через точку C
, касающиеся данной внешним образом и пересекающие стороны угла в точках A
и B
. Докажите, что периметры всех треугольников ABC
равны.
Решение. Будем считать, что длина касательной, проведённой к данной окружности из точки C
, равна 1. При инверсии относительно единичной окружности с центром C
стороны угла и окружность остаются на месте (см. задачу 6110), а точки A
и B
переходят в такие точки A'
и B'
, что треугольник A'B'C
описан около данной окружности (см. задачи 6111 и 6114). При этом
AC=\frac{1}{A'C},~BC=\frac{1}{B'C},~AB=\frac{A'B'}{A'C\cdot B'C}
(см. задачу 6121). Пусть p
— полупериметр треугольника A'B'C
, S
— площадь этого треугольника, r
— радиус вписанной окружности (т. е. радиус данной окружности). Тогда периметр треугольника ABC
равен
\frac{p}{A'C\cdot B'C}=\frac{A'B'+A'C+B'C}{A'C\cdot B'C}=\frac{2p}{\frac{2S}{\sin\angle C}}=\frac{p\sin\angle C}{S}=\frac{\sin\angle C}{\frac{S}{p}}=\frac{\sin\angle C}{r}.
Но радиус r
вписанной окружности треугольника A'B'C
не зависит от точек A
и B
.