10765. Дана равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что квадрат высоты этой трапеции равен произведению её оснований.
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
— описанная равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD=a
, BC=b
(a\gt b
); BH=h
— высота трапеции. Тогда
AB=\frac{a+b}{2}~\mbox{и}~AH=\frac{b-a}{2}
(см. задачи 1939 и 1921). Из прямоугольного треугольника AHB
получаем, что
h=BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}}=\sqrt{ab}.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD=a
, BC=b
; h=2r
— высота трапеции; M
, N
и K
— точки касания окружности со сторонами AD
, BC
и CD
соответственно.
Точки M
и N
— середины оснований трапеции, поэтому
DK=DM=\frac{a}{2},~CK=CN=\frac{b}{2}.
Треугольник COD
прямоугольный (см. задачу 313), а OK=r
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, значит (см. задачу 2728),
r^{2}=OK^{2}=DK\cdot CK=\frac{ab}{4}.
Следовательно,
h^{2}=4r^{2}=ab.
Примечание. Верно и обратное: если боковая сторона равнобедренной трапеции есть среднее геометрическое оснований, то в трапецию можно вписать окружность.
Действительно, пусть ABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD=a
, BC=b
(a\gt b
); BH
— высота трапеции. Тогда
AH=\frac{b-a}{2}~\mbox{и}~BH=\sqrt{ab}.
Из прямоугольного треугольника AHB
получаем, что
AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}-(\sqrt{ab})^{2}}=\frac{a+b}{2}.
Значит,
AB+CD=2AB=a+b=AD+BC.
Следовательно, в трапецию ABCD
можно вписать окружность.