10830. Постройте треугольник по стороне, проведённой к ней высоте и отношению двух других сторон.
Указание. См. задачу 1826.
Решение. Предположим искомый треугольник ABC
построен, BC=a
— его данная сторона, AH=h
— данная высота, \frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}
— данной отношение. Тогда, с одной стороны, точка A
лежит на одной из двух прямых, удалённых от прямой BC
на расстояние, равное h
(см. задачу 2398), а с другой — на окружности Аполлония для точек B
и C
и отношению \frac{b}{c}
(см. задачу 2444). Отсюда вытекает следующее построение.
Строим отрезок BC=a
. На расстоянии h
от прямой BC
проводим две прямые, параллельные BC
(см. задачу 1148). Затем строим окружность Аполлония для точек B
и C
и отношению \frac{b}{c}
(см. задачу 1826).
Если построенная окружность имеет общие точки с построенными прямыми, то каждая такая точка является искомой вершиной A
треугольника ABC
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.