10924. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Лучи BA
и CD
пересекаются в точке P
. Прямая, проходящая через точку P
и параллельная касательной к окружности в точке D
, пересекает в точках U
и V
касательные, проведённые к окружности в точках A
и B
. Докажите, что окружности, описанные около треугольника CUV
и четырёхугольника ABCD
, касаются.
Решение. Пусть лучи UC
и VC
пересекают в точках K
и L
касательную, проведённую из точки D
, и вторично пересекают окружность в точках X
и Y
. Пусть T
— общая точка касательных, проведённых из A
и B
(рис. 1).
Запишем теорему Менелая для треугольника UVT
и прямой BP
(см. задачу 1622):
\frac{UP}{PV}\cdot\frac{VB}{BT}\cdot\frac{TA}{QU}=1.
Учитывая, что BT=TA
и \frac{UP}{PV}=\frac{KD}{DL}
(см. задачу 1597), получим, что \frac{KD\cdot VB}{DL\cdot AU}=1
, поэтому \frac{UA}{KD}=\frac{VB}{LD}
.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
\frac{UX\cdot UC}{KX\cdot KC}=\frac{UA^{2}}{KD^{2}}=\frac{VB^{2}}{LD^{2}}=\frac{VY\cdot VC}{LY\cdot LC}.
Поскольку \frac{UC}{KC}=\frac{VC}{LC}
, то \frac{UX}{KX}=\frac{VY}{LY}
. Следовательно, прямые XY
и UV
параллельны. Тогда существует гомотетия с центром C
, переводящая треугольник CXY
в треугольник CUV
(см. задачу 5000). Значит, их описанные окружности касаются в точке C
. Что и требовалось доказать.
Если точка T
не существует, т. е. когда AB
— диаметр окружности (рис. 2), то равенство \frac{KD\cdot VB}{DL\cdot AU}=1
очевидно. В этом случае треугольник CXY
также гомотетичен треугольнику CUV
с центром гомотетии C
.