11094. С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая AB
при инверсии относительно данной окружности S
с данным центром O
(прямая AB
не проходит через точку O
).
Решение. Образ прямой AB
при инверсии относительно окружности S
— окружность, проходящая через точку O
(см. задачу 6110).
Строим точку P
, симметричную точке O
относительно прямой AB
(см. задачу 11093), затем — образ P'
точки P
при инверсии относительно окружности S
(см. задачу 11092). Тогда искомая окружность — это окружность с центром P'
, проходящая через центр O
инверсии.
Действительно, пусть OK
— диаметр этой окружности, A'
— точка пересечения с ней луча OA
, M
— середина отрезка OP
. Тогда точки A
, A'
, K
, M
лежат на окружности с диаметром AK
, поэтому (см. задачу 2636)
OA'\cdot OA=OK\cdot OM=OK\cdot\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}OK\cdot OP=OP'\cdot OP=R^{2},
где R
— радиус окружности S
. Аналогично OB'\cdot OB=R^{2}
. Следовательно, образ прямой AB
при рассматриваемой инверсии — окружность с центром P'
и радиусом P'O
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 28.20, с. 519