11158. В треугольнике ABC
проведены высоты AP
и BQ
, M
— середина AB
, N
— середина PQ
. Прямая CN
пересекает AB
в точке D
, а прямая CM
пересекает PQ
в точке E
. Докажите, что DE
— перпендикуляр к AB
.
Решение. Треугольники PCQ
и ACB
подобны (см. задачу 19), поэтому их медианы образуют одинаковые углы со сторонами, к которым они проведены: \angle CNQ=\angle CMB
. Следовательно, точки M
, D
, N
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 49). Отрезки PM
и QM
— медианы прямоугольных треугольников APB
и AQB
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому PM=\frac{1}{2}AB=QM
(см. задачу 1109), т. е. треугольник PMQ
равнобедренный. Значит, его медиана MN
является высотой, т. е. MN\perp PQ
. Тогда ME
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle EDM=90^{\circ}
.
Примечание. 1. Отметим, что CM
— медиана треугольника ABC
, а CD
— симедиана; в треугольнике PCQ
они меняются ролями (см. задачу 10341).
2. См. статью Д.Швецова «Подобие с медианами», Квант, 2021, N7, с.42-47.