11280. Окружности S_{1}
и S_{2}
касаются внешним образом в точке F
. Прямая l
касается S_{1}
и S_{2}
в точках A
и B
соответственно. Прямая, параллельная прямой l
, касается S_{2}
в точке C
и пересекает S_{1}
в двух точках. Докажите, что:
а) точки A
, F
и C
лежат на одной прямой;
б) общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC
и BDE
, проходит через точку F
.
Решение. а) См. задачу 2966.
б) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
— середина его гипотенузы AC
(см. задачу 8). Если мы докажем, что центр описанной окружности треугольника BDE
— это точка A
, то прямая AC
будет линией центром описанных окружностей треугольников ABC
и BDE
, а тогда BF
— перпендикуляр, опущенный из общей точки A
этих окружностей на линию их центров (см. задачу 1130). Следовательно, прямая AF
будет содержать их общую хорду.
Итак, докажем, что AE=AD=AB
. Равенство AE=AD
следует из того, что хорда DE
параллельна касательной, проведённой в точке A
к описанной окружности треугольника ADE
(см. задачу 1734).
Пусть AP
— высота равнобедренного треугольника DAE
, O_{1}
— центр окружности S_{1}
, R
и r
— радиусы окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно. Тогда
AP=BC=2r,~O_{1}A=O_{1}D=R,
PD^{2}=O_{1}D^{2}-O_{1}P^{2}=R^{2}-(2r-R)^{2}=4Rr-4r^{2},
AD=\sqrt{AP^{2}+PD^{2}}=\sqrt{4r^{2}+4Rr-4r^{2}}=2\sqrt{Rr}=AB
(см. задачу 365). Следовательно, AE=AD=AB
. Что и требовалось доказать.
Автор: Калинин А. Ю.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1993-94, XX, заключительный этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1994, № 5, с. 26, М1452; 1995, № 2, с. 24, М1452
Источник: Задачник «Кванта». — М1452
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 450, с. 58