11407. Точка D
— середина стороны AC
треугольника ABC
, DE
и DF
— биссектрисы треугольников ABD
и CBD
. Отрезки BD
и EF
пересекаются в точке M
. Докажите, что DM=\frac{1}{2}EF
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BE}{EA}=\frac{BD}{DA},~\frac{BF}{FC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BD}{DA}.
Из равенства \frac{BE}{EA}=\frac{BF}{FC}
следует, что EF\parallel AC
. Значит, медиана BD
треугольника ABC
проходит через середину M
отрезка EF
(см. задачу 2607).
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны (см. задачу 937), значит, DM
— медиана прямоугольного треугольника EDF
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DM=\frac{1}{2}EF
(см. задачу 1109).
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2001, № 225, с. 69, 9 класс, задача 3