11455. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AC
в точке D
. Отрезок BD
повторно пересекает окружность в точке E
. Точки F
и G
на окружности таковы, что FE\parallel BC
и GE\parallel BA
. Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников DEF
и DEG
, делится пополам биссектрисой угла GDF
.
Решение. Пусть X
и Y
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами AB
и BC
соответственно, а точки I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников EGD
и EFD
. Касательная, параллельная хорде, проходит через середину дуги, которую стягивает хорда (см. задачу 1734). Через эту же середину проходит и биссектриса DI_{1}
вписанного угла EDG
(см. задачу 430), из чего следует, что точка X
лежит на прямой DI_{1}
. Аналогично, точка Y
лежит на прямой DI_{2}
. По теореме об угле между касательной и хордой \angle XDB=\angle BXE
, поэтому треугольники BXE
и BDX
подобны и имеет место равенство EX:XD=BX:BD
. Аналогично BY:BD=EY:YD
. Но BX=BY
, а значит,
EX:XD=EY:YD.\eqno(*)
Далее заметим, что по теореме о трилистнике (см. задачу 788) XE=XI_{1}
и EY=YI_{2}
. Подставляя это в последнее равенство, получаем, что XI_{1}:XD=YI_{2}:YD
, откуда XY\parallel I_{1}I_{2}
. Теперь достаточно доказать, что биссектриса угла GDF
делит пополам отрезок XY
, и это будет равносильно утверждению задачи (см. задачу 2607).
Обозначим \angle GDX=\angle XDE=\alpha
, \angle EDY=\angle YDF=\beta
. Пусть биссектриса угла GDF
пересекает вторично вписанную в треугольник ABC
окружность в точке E_{1}
. Тогда
\angle GDE_{1}=\angle E_{1}DF=\frac{2\alpha+2\beta}{2}=\alpha+\beta~\mbox{и}~\angle YDE_{1}=(\alpha+\beta)-\beta=\alpha.
В силу последнего равенства, дуги, а значит, и хорды, EX
и E_{1}Y
равны, и E_{1}X=EY
. Подставляя эти равенства в (*)
, получаем E_{1}Y:XD=E_{1}X:YD
, т. е. E_{1}Y\cdot YD=E_{1}X\cdot XD
. Домножая последнее равенство на \sin\angle E_{1}YD=\sin\angle E_{1}XD
, получаем равенство площадей S_{\triangle E_{1}YD}=S_{\triangle E_{1}XD}
, что возможно только в том случае, когда DE_{1}
делит XY
пополам (см. задачу 3157). Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2015, второй тур, 9 класс