11455. Окружность, вписанная в треугольник
ABC
, касается стороны
AC
в точке
D
. Отрезок
BD
повторно пересекает окружность в точке
E
. Точки
F
и
G
на окружности таковы, что
FE\parallel BC
и
GE\parallel BA
. Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников
DEF
и
DEG
, делится пополам биссектрисой угла
GDF
.
Решение. Пусть
X
и
Y
— точки касания вписанной окружности треугольника
ABC
со сторонами
AB
и
BC
соответственно, а точки
I_{1}
и
I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников
EGD
и
EFD
. Касательная, параллельная хорде, проходит через середину дуги, которую стягивает хорда (см. задачу 1734). Через эту же середину проходит и биссектриса
DI_{1}
вписанного угла
EDG
(см. задачу 430), из чего следует, что точка
X
лежит на прямой
DI_{1}
. Аналогично, точка
Y
лежит на прямой
DI_{2}
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle XDB=\angle BXE
, поэтому треугольники
BXE
и
BDX
подобны и имеет место равенство
EX:XD=BX:BD
. Аналогично
BY:BD=EY:YD
. Но
BX=BY
, а значит,
EX:XD=EY:YD.\eqno(*)

Далее заметим, что по теореме о трилистнике (см. задачу 788)
XE=XI_{1}
и
EY=YI_{2}
. Подставляя это в последнее равенство, получаем, что
XI_{1}:XD=YI_{2}:YD
, откуда
XY\parallel I_{1}I_{2}
. Теперь достаточно доказать, что биссектриса угла
GDF
делит пополам отрезок
XY
, и это будет равносильно утверждению задачи (см. задачу 2607).
Обозначим
\angle GDX=\angle XDE=\alpha
,
\angle EDY=\angle YDF=\beta
. Пусть биссектриса угла
GDF
пересекает вторично вписанную в треугольник
ABC
окружность в точке
E_{1}
. Тогда
\angle GDE_{1}=\angle E_{1}DF=\frac{2\alpha+2\beta}{2}=\alpha+\beta~\mbox{и}~\angle YDE_{1}=(\alpha+\beta)-\beta=\alpha.

В силу последнего равенства, дуги, а значит, и хорды,
EX
и
E_{1}Y
равны, и
E_{1}X=EY
. Подставляя эти равенства в (*), получаем
E_{1}Y:XD=E_{1}X:YD
, т. е.
E_{1}Y\cdot YD=E_{1}X\cdot XD
. Домножая последнее равенство на
\sin\angle E_{1}YD=\sin\angle E_{1}XD
, получаем равенство площадей
S_{\triangle E_{1}YD}=S_{\triangle E_{1}XD}
, что возможно только в том случае, когда
DE_{1}
делит
XY
пополам (см. задачу 3157). Что и требовалось доказать.