11640. Окружность пересекает сторону AB
равностороннего треугольника ABC
в точках C_{1}
и C_{2}
, сторону BC
— в точках A_{1}
и A_{2}
, сторону CA
— в точках B_{1}
и B_{2}
, причём точка C_{1}
расположена между точками A
и C_{2}
, точка A_{1}
— между B
и A_{2}
, точка B_{1}
— между C
и B_{2}
. Докажите, что
AC_{1}+BA_{1}+CB_{1}=BC_{2}+CA_{2}+AB_{2}.
Решение. Пусть сторона треугольника равна a
.
Первый способ. Обозначим через O
центр окружности, а через C_{3}
, A_{3}
и B_{3}
— середины отрезков C_{1}C_{2}
, A_{1}A_{2}
и B_{1}B_{2}
. Тогда
AC_{1}+BA_{1}+CB_{1}=BC_{2}+CA_{2}+AB_{2}~\Leftrightarrow~
(AC_{3}-C_{1}C_{3})+(BA_{3}-A_{1}A_{3})+(CB_{3}-B_{1}B_{3})=
=(BC_{3}-C_{2}C_{3})+(CA_{3}-A_{2}A_{3})+(AB_{3}-B_{2}B_{3})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~AC_{3}+BA_{3}+CB_{3}=BC_{3}+CA_{3}+AB_{3}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(AC_{3}-BC_{3})+(BA_{3}-CA_{3})+(CB_{3}-AB_{3})=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(AC_{3}-BC_{3})a+(BA_{3}-CA_{3})a+(CB_{3}-AB_{3})a=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(AC_{3}-BC_{3})(AC_{3}+BC_{3})+(BA_{3}-CA_{3})(BA_{3}+CA_{3})+
+(CB_{3}-AB_{3})(CB_{3}+AB_{3})=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(AC_{3}^{2}-BC_{3}^{2})+(BA_{3}^{2}-CA_{3}^{2})+(CB_{3}^{2}-AB_{3}^{2})=0.
По теореме Пифагора
AC_{3}^{2}-BC_{3}^{2}=(OA^{2}-OC_{3}^{2})-(OB^{2}-OC_{3}^{2})=OA^{2}-OB^{2}.
Аналогично,
BA_{3}^{2}-CA_{3}^{2}=OB^{2}-OC^{2},~CB_{3}^{2}-AB_{3}^{2}=OC^{2}-OA^{2},
значит,
(AC_{3}^{2}-BC_{3}^{2})+(BA_{3}^{2}-CA_{3}^{2})+(CB_{3}^{2}-AB_{3}^{2})=
=(OA^{2}-OB^{2})+(OB^{2}-OC^{2})+(OC^{2}-OA^{2})=0.
Следовательно,
AC_{1}+BA_{1}+CB_{1}=BC_{2}+CA_{2}+AB_{2}.
Второй способ. По следствию из теоремы о касательной и секущей (см. задачу 2636)
AC_{1}\cdot AC_{2}=AB_{2}\cdot AB_{1},~BA_{1}\cdot BA_{2}=BC_{2}\cdot BC_{1},~CB_{1}\cdot CB_{2}=CA_{2}\cdot CA_{1},
или
AC_{1}(a-BC_{2})=AB_{2}(a-CB_{1}),
BA_{1}(a-CA_{2})=BC_{2}(a-AC_{1}),
CB_{1}(a-AB_{2})=CA_{2}(a-BA_{1}),
где a
сторона равностороннего треугольника ABC
. Сложив эти три равенства, после очевидных упрощений получим, что
AC_{1}+BA_{1}+CB_{1}=BC_{2}+CA_{2}+AB_{2}.