11765. Один из углов треугольника равен
60^{\circ}
. Докажите, что центр описанной окружности этого треугольника равноудалён от биссектрис двух других его углов.
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник
ABC
, в котором
\angle B=60^{\circ}
,
I
— точка пересечения биссектрис, а
O
— центр описанной окружности. Заметим, что
\angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B=120^{\circ}

(см. задачу 4770), а так как центральный угол
AOC
описанной окружности вдвое большее соответствующего вписанного, то
\angle AOC=2\angle B=120^{\circ}.

Поскольку угол
B
острый, точки
I
и
O
расположены по одну сторону от прямой
AC
, значит, точки
A
,
C
,
I
и
O
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Если точки
I
и
O
совпадают, треугольник
ABC
равносторонний (см. задачу 220), и утверждение очевидно. Иначе пусть, например, точка
O
лежит на дуге
AI
, не содержащей точки
C
. Тогда
\angle OIA=\angle OCA=30^{\circ},

а так как внешний угол при вершине
I
треугольника
AIC
равен
60^{\circ}
, точка
O
лежит на его биссектрисе. Следовательно, эта точка равноудалена от сторон этого угла, т. е. от биссектрис
CI
и
AI
(см. задачу 1138).
Второй способ. Продолжим биссектрисы углов
A
и
C
до пересечения описанной окружностью. Полученные хорды стягивают дуги, равные
120^{\circ}+\angle A
и
120^{\circ}+\angle C
соответственно. Поскольку сумма этих дуг равна
360^{\circ}
, указанные хорды равны, поэтому они равноудалены от центра
O
окружности (см. задачу 1673).