11780. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— его ортоцентр. На прямых AB
и AC
отмечены соответственно такие точки M
и N
(отличные от точки A
), что CM=CA
и BN=BA
. Прямые BC
и MN
пересекаются в точке P
. Докажите, что прямые AP
и OH
перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Треугольники ACM
и ABN
равнобедренные, поэтому
\angle CMA=\angle BAC=\angle BNA.
Значит, точки B
, C
, M
, N
лежат на одной окружности (49). Обозначим её \Omega
.
Проведём высоты BD
и CE
в треугольнике ABC
. Заметим, что BD
— серединный перпендикуляр к отрезку AN
, а CE
— серединный перпендикуляр к отрезку AM
. Значит, H
— центр описанной окружности треугольника AMN
.
Известно, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через их общие точки (см. задачу 6392). Рассмотрим описанные окружности треугольников ABC
и AMN
, а также окружность \Omega
. Их радикальные оси пересекаются в одной точке (см. задачу 6393), поэтому точка P
пересечения двух радикальных осей BC
и AN
лежит на третьей радикальной оси, т. е. на прямой AP
, содержащей общую хорду описанных окружностей треугольников ABC
и AMN
. Но радикальная ось перпендикулярна линии центров OH
этих окружностей, следовательно, AP\perp OH
(см. задачу 1130).