11781. Из вершины A
треугольника ABC
провели высоту AD
и диаметр описанной около треугольника окружности, который пересёк сторону BC
в точке E
. Докажите, что описанная окружность треугольника ADE
касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
и O'
— центры описанных окружностей треугольников ABC
и ADE
соответственно, тогда O
— середина проведённого диаметра, а O'
— середина AE
. Окружность, проходящая через середины сторон треугольника ABC
, — это окружность девяти точек этого треугольника (см. задачу 174). Её центр P
— середина отрезка OH
, где H
— ортоцентр треугольника ABC
, и она проходит через точку D
.
Опустим перпендикуляр OM
на сторону BC
и воспользуемся тем, что OM\parallel AD
и OM=\frac{1}{2}AH
(см. задачу 1257). Пусть K
— середина AH
. Тогда OMHK
— параллелограмм, поэтому P
— середина отрезка MK
. Четырёхугольник OMKA
— также параллелограмм, поэтому MK\parallel AE
. Значит, прямая DP
проходит через середину AE
— точку O'
(см. задачу 2607). Таким образом, точки O'
, P
и D
лежат на одной прямой, а это означает, что окружности, указанные в условии, касаются в точке D
(эти окружности имеют общую точку D
и общую касательную в этой точке, см. задачу 1759).