11910. На стороне BC
треугольника ABC
точка K
, для которой AK=4
, BK=9
, KC=3
. Около треугольника ABK
описана окружность. Через точку C
и середину D
стороны AB
проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P
, причём CP\gt CD
. Найдите DP
, если \angle APB=\angle BAC
.
Ответ. \frac{-11+3\sqrt{145}}{\sqrt{74}}
.
Решение. Четырёхугольник AKBP
вписанный, поэтому
\angle AKC=180^{\circ}-\angle AKB=\angle APB=\angle BAC.
Значит, треугольник AKC
подобен треугольнику BAC
(угол при вершине C
— общий). Тогда
\angle CAK=\angle CBA=\angle KBA.
Следовательно, AC
— касательная к описанной окружности ABK
(см. задачу 144).
Из отмеченного подобия также следует, что
\frac{AK}{AB}=\frac{KC}{AC}=\frac{AC}{BC},~\mbox{или}~\frac{4}{AB}=\frac{3}{AC}=\frac{AC}{12},
откуда AC=6
и AB=8
.
По формуле для медианы треугольника находим (см. задачу 4014), что
CD=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^{2}+2BC^{2}-AB^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot36+2\cdot144-64}=\sqrt{74}.
Пусть N
— точка пересечения окружности с прямой CP
, отличная от P
. Обозначим DP=x
, ND=y
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) AD\cdot DB=PD\cdot DN
, или 16=xy
, а по теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) — CN\cdot CP=AC^{2}
, или (\sqrt{74}-y)(\sqrt{74}+x)=36
. Из системы
\syst{xy=16\\(\sqrt{74}-y)(\sqrt{74}+x)=36\\}
находим, что
DP=x=\frac{-11+3\sqrt{145}}{\sqrt{74}}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016-2017, отборочный этап, задача 7, типовой вариант, 11 класс