12010. Прямая Эйлера треугольника ABC
перпендикулярна его медиане. Докажите, что и квадраты сторон треугольника, и квадраты его медиан образуют арифметическую прогрессию (т. е. оба треугольника автомедианные).
Решение. Пусть AA_{1}=m_{a}
, BB_{1}=m_{b}
и CC_{1}=m_{c}
— медианы треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
; M
— точка пересечения медиан, O
— центр описанной окружности радиуса R
, H
— ортоцентр треугольника; AA_{1}\perp OH
.
Тогда (см. задачи 4145, 5044, 1207 и 4014)
OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),~OM=\frac{1}{3}OH,~AM=\frac{2}{3}m_{a},~m_{a}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})
Из прямоугольного треугольника AMO
получаем OA^{2}=OM^{2}+AM^{2}
, или
R^{2}=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{9}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}+c^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}~\Leftrightarrow~2a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Первое утверждение доказано.
Тогда
m_{a}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{1}{4}(4a^{2}-a^{2})=\frac{3}{4}a^{2}.
Следовательно,
m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})+\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=
=\frac{1}{4}(4a^{2}+c^{2}+b^{2})=\frac{1}{4}(4a^{2}+2a^{2})=\frac{3}{2}a^{2}=2m_{a}^{2}.
Второе утверждение доказано.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.