12096. В трапецию ABCD
можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина A
, центр вписанной окружности I
, описанная окружность \omega
и её центр O
. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.
Решение. Продлим AO
до пересечения с окружностью \omega
в точке M
. Пусть также луч AI
пересекает окружность \omega
в точке M'
. Продлим M'O
до пересечения с окружностью \omega
в точке M''
. Углы AM'M
и M'AM''
прямые, поскольку AM
и M'M''
— диаметры окружности \omega
. Значит, прямые AM''
и MM'
перпендикулярны прямой AM'
и, следовательно, параллельны.
Имея две параллельные прямые, с помощью одной лишь линейки мы можем провести через точку I
прямую, параллельную двум другим (см. задачу 1540). Очевидно, проведённая прямая пересечёт окружность \omega
в вершине B
, поскольку \angle AIB=90^{\circ}
(см. задачи 313 и 1146). Проведём прямую j
через точки O
и I
. С помощью одной лишь линейки мы можем построить две прямые, которые будут перпендикулярны диаметру, совпадающему с прямой j
(см. задачи 22 и 1540). Затем через A
и B
проведём прямые, параллельные двум проведённым. В пересечении получим недостающие вершины D
и C
соответственно.