12137. Окружность, вписанная в угол с вершиной O
, касается его сторон в точках A
и B
. Луч OX
пересекает эту окружность в точках C
и D
, причём OC=CD=1
. Если M
— точка пересечения луча OX
и отрезка AB
, то чему равна длина отрезка OM
?
Ответ. \frac{4}{3}
.
Решение. Первый способ. Обозначим OM=x
. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
OA^{2}=OD\cdot OC=1\cdot2=2.
Опустим перпендикуляр QH
из центра Q
окружности на прямую OX
. Тогда H
— середина хорды CD
,
OH=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Пусть N
— середина хорды AB
. Прямая OQ
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 1180), поэтому точка N
лежит на OQ
. Прямоугольные треугольники OHQ
и ONM
подобны, значит, \frac{OH}{ON}=\frac{OQ}{OM}
, или OQ\cdot ON=OH\cdot OM
. Кроме того, отрезок AN
— высота прямоугольного треугольника AHQ
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2628), следовательно,
2=OA^{2}=OQ\cdot ON=OH\cdot OM=\frac{3}{2}x,
откуда x=\frac{4}{3}
.
Второй способ. Докажем равенство CM\cdot OD=MD\cdot OC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует равенство углов OAC
и ODA
, поэтому треугольники OAC
и ODA
с общим углом при вершине O
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AC}{AD}=\frac{OC}{OA},~\frac{AC}{AD}=\frac{OA}{OD}.
Перемножив эти равенства, получим \frac{AC^{2}}{AD^{2}}=\frac{OC}{OD}
. Аналогично, \frac{BC^{2}}{BD^{2}}=\frac{OC}{OD}
. Следовательно, \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}
.
Отношение площадей треугольников ACB
и ADB
равно отношению высот, опущенных на общее основание AB
, а отношение этих высот равно отношению отрезков CM
и MD
, поэтому
\frac{CM}{MD}=\frac{S_{\triangle ACB}}{S_{\triangle ADB}}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\angle ACB}{\frac{1}{2}AD\cdot BD\sin(180^{\circ}-\angle ACB)}=\frac{AC\cdot BC}{AD\cdot BD}=
=\frac{AC}{AD}\cdot\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{BD}\cdot\frac{BC}{BD}=\frac{BC^{2}}{BD^{2}}=\frac{OC}{OD}.
Следовательно, CM\cdot OD=MD\cdot OC
, причём условие OC=CD
здесь не использовано.
Пусть теперь OC=CD=1
, OM=x
. Тогда (x-1)\cdot2=(2-x)\cdot1
, откуда x=\frac{4}{3}
.
Примечание. Для доказательства равенства CM\cdot OD=MD\cdot OC
можно использовать двойное отношение четырёх отрезков одной прямой (см. задачу 2029). См. также статью В.Тадеева «Простые, двойные, гармонические», Квант, 1982, N7, с.2-9.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1992, 10 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 92.31
Источник: Журнал «Квант». — 1993, № 2, с. 24, M1387; 1994, № 1, с. 22, M1387
Источник: Задачник «Кванта». — 1993, № 2, M1387