12365. Дан треугольник ABC
с углом B
равным 60^{\circ}
. На продолжениях сторон AB
, CB
и медианы BM
за точку B
взяты точки K
, L
и N
соответственно, причём BK:AB=3:1
, BL:CB=5:1
, BN:BM=4:1
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, если площадь треугольника KLN
равна 6\sqrt{3}
, а расстояние от точки M
до точки касания вписанной в треугольник ABC
окружности со стороной AC
равно 1.
Ответ. \frac{5-\sqrt{7}}{\sqrt{3}}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, S_{\triangle ABC}=S
. Тогда (см. задачи 3007 и 3001)
S_{\triangle BLN}=\frac{BL}{BC}\cdot\frac{BN}{BM}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=5\cdot4\cdot\frac{1}{2}S=10S,
Аналогично,
S_{\triangle BKN}=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}S=6S,~S_{\triangle BKL}=3\cdot5\cdot S=15S.
Значит,
6\sqrt{3}=S_{\triangle KLN}=S_{\triangle BLN}+S_{\triangle BKN}-S_{\triangle BKL}=10S+6S-15S=S,
т. е. \frac{1}{2}ac\sin60^{\circ}=6\sqrt{3}
, откуда ac=24
.
Предположим, что a\gt c
. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке P
. Тогда (см. задачу 219)
AP=\frac{b+c-a}{2},~1=MP=AM-AP=|AM-AP|=
=\left|\frac{b}{2}-\frac{b+c-a}{2}\right|=\left|\frac{a-c}{2}\right|=\frac{a-c}{2},
откуда a-c=2
.
Из системы
\syst{ac=24\\a-c=2\\a\gt c\\}
находим, что a=6
, c=4
. По теореме косинусов
b=AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos60^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+c^{2}-ac}=\sqrt{36+16-24}=2\sqrt{7}.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда (см. задачу 452)
r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2\cdot6\sqrt{3}}{6+4+2\sqrt{7}}=\frac{5-\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2020-2021, второй (очный) этап, задача 3, вариант 1, 11 класс