12436. В треугольнике ABC
проведена биссектриса CL
, которая разбивает сторону AB
на отрезки AL=10
и BL=6
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки C
и L
, центр которой лежит на прямой AB
.
Ответ. 15.
Решение. Пусть LM=2R
— диаметр окружности, о которой говорится в условии. Отметим точку K
на продолжении стороны AC
за точку C
. Обозначим, \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle BCK=180^{\circ}-\gamma,~\angle BCL=\frac{\gamma}{2},
а так как точка C
лежит на окружности с диаметром LM
, то \angle MCL=90^{\circ}
. Значит,
\angle BCM=\angle MCL-\angle BCL=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\angle BCK.
Следовательно, CM
— биссектриса угла BCK
, т. е. биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
.
По свойствам биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) и биссектрисы внешнего угла треугольника (см. задачу 1645)
\frac{5}{3}=\frac{AL}{LB}=\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{MB}=\frac{AL+LM}{ML-BL}=\frac{10+2R}{2R-6}=\frac{5+R}{R-3}.
Из уравнения \frac{5}{3}=\frac{5+R}{R-3}
находим, что R=15
.
Примечание. Окружность из условия задачи — окружность Аполлония (см. задачи 1826 и 2444).