12693. В остроугольном треугольнике ABC
со сторонами AC\gt AB
, точка D
— проекция точки A
на прямую BC
, а E
и F
— проекции точки D
на прямые AB
и AC
, соответственно. Пусть G
— точка пересечения прямых AD
и EF
, а H
— точка пересечения луча AD
с описанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что AG\cdot AH=AD^{2}
.
Решение. Первый способ. Из точек E
и F
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Тогда
\angle AEG=\angle AEF=\angle ADF=\angle ACD=\angle ACB=\angle AHB.
Значит, четырёхугольник BEGH
вписан в окружность. Тогда AE\cdot AB=AG\cdot AH
(см. задачу 2636).
С другой стороны, отрезок DE
— высота прямоугольного треугольника ADB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AE\cdot AB=AD^{2}
(см. задачу 2728). Следовательно, AG\cdot AH=AD^{2}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку DE
и DF
— высоты прямоугольных треугольников ADB
и ADC
, проведённые из вершин прямых углов, то
\frac{BE}{AE}=\left(\frac{BD}{AD}\right)^{2},~\frac{CF}{AF}=\left(\frac{CD}{AD}\right)^{2}
(см. задачу 1946).
Поскольку AC\gt AB
, прямая EF
пересекает прямую BC
в точке X
, лежащей на продолжении стороны BC
за точку B
. По теореме Менелая (см. задачу 1622) для прямой EF
и треугольников ABC
, ADC
и ABD
получаем
\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CF}{FA}\cdot\frac{AE}{EB}=1,~\frac{DX}{XC}\cdot\frac{CF}{FA}\cdot\frac{AG}{GD}=1,~\frac{DX}{XB}\cdot\frac{BE}{EA}\cdot\frac{AG}{GD}=1,
значит,
BX\cdot\frac{CF}{AF}=CX\cdot\frac{BE}{AE},~CX\cdot\frac{DG}{AG}=DX\cdot\frac{CF}{AF},~DX\cdot\frac{BE}{AE}=BX\cdot\frac{DG}{AG}.
Сложив эти равенства и учитывая, что BD\cdot CD=AD\cdot DH
(см. задачу 2627), получим
BX\cdot\frac{CF}{AF}+CX\cdot\frac{DG}{AG}+DX\cdot\frac{BE}{AE}=CX\cdot\frac{BE}{AE}+DX\cdot\frac{CF}{AF}+BX\cdot\frac{DG}{AG},
\frac{CF}{AF}(BX-DX)+\frac{DG}{AG}(CX-BX)+\frac{BE}{AE}(DX-CX)=0,
-BD\cdot\frac{CF}{AF}+BC\cdot\frac{DG}{AG}-CD\cdot\frac{BE}{AE}=0,
откуда
BC\cdot\frac{DG}{AG}=BD\cdot\frac{CF}{AF}+CD\cdot\frac{BE}{AE}=BD\cdot\left(\frac{CD}{AD}\right)^{2}+CD\cdot\left(\frac{BD}{AD}\right)^{2}=
=\frac{CD\cdot BD}{AD^{2}}(CD+BD)=\frac{CD\cdot BD}{AD^{2}}\cdot BC=BC\cdot\frac{AD\cdot DH}{AD^{2}}=BC\cdot\frac{DH}{AD}.
Значит, \frac{DG}{AG}=\frac{DH}{AD}
. Тогда
\frac{AD}{AG}=\frac{AG+DG}{AG}=1+\frac{DG}{AG}=1+\frac{DH}{AD}=\frac{AD+HD}{AD}=\frac{AH}{AD}.
Следовательно, AD^{2}=AG\cdot AH
. Что и требовалось доказать.