12732. Биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
пересекает прямую AC
в точке D
. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, I_{b}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC
, а L
— середина дуги ABC
описанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что DI\perp LI_{b}
.
Указание. См. задачи 2288, 174 и 12231.
Решение. Пусть I_{a}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
и AB
соответственно. Тогда A
, B
и C
— основания высот треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 2288), поэтому описанная окружность треугольника ABC
— это окружность девяти точек треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, а I
— ортоцентр этого треугольника). Значит, L
— середина стороны I_{a}I_{c}
(см. задачу 174), а точка I
— ортоцентр треугольника LI_{b}D
. Следовательно (см. задачу 12731), DI\perp LI_{b}
.