13010. В треугольнике ABC
проведены высоты BP
, CQ
и медиана AM
. Известно, что MP=4
и PQ=2
. Найдите синус угла при вершине A
.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{4}
.
Решение. Отрезки PM
и QM
— медианы прямоугольных треугольников BPC
и BQC
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому (см. задачу 1109)
QM=\frac{1}{2}BC=PM=4,~BC=8.
Пусть MH
— высота равнобедренного треугольника PMQ
. Тогда
MH=\sqrt{PM^{2}-\frac{1}{4}PQ^{2}}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}.
Окружность, описанная около равнобедренного треугольника PMQ
, — это окружность девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174). Её радиус вдвое меньше радиуса R
описанной окружности треугольника ABC
. Значит (см. задачу 4259),
R=2\cdot\frac{PM\cdot QM\cdot PQ}{4S_{\triangle PMQ}}=2\cdot\frac{4\cdot4\cdot2}{4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{15}}=\frac{16}{\sqrt{15}}.
Следовательно (см. задачу 23),
\sin\angle BAC=\frac{BC}{2R}=\frac{8}{2\cdot\frac{16}{\sqrt{15}}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.