13012. Докажите, что коэффициент подобия ортотреугольника треугольника ABC
и тангенциального треугольника треугольника ABC
(см. задачу 10709а) равен 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
, где \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
.
Решение. Пусть A_{1}B_{1}C_{1}
— тангенциальный треугольник треугольника ABC
со углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно, R
и R_{1}
— радиусы описанных окружностей треугольников соответственно ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда радиус описанной окружности ортотреугольника треугольника ABC
(окружности девяти точек треугольника ABC
) равен \frac{R}{2}
.
Учитывая, что
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-2\angle ABC=180^{\circ}-2\beta
(см. задачу 1303) и
A_{1}C_{1}=R(\tg\alpha+\tg\gamma)
(см. задачу 13011а), получим
R_{1}=\frac{A_{1}C_{1}}{2\sin\angle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{R(\tg\alpha+\tg\gamma)}{2\sin(180^{\circ}-2\beta)}=\frac{R(\tg\alpha+\tg\gamma)}{2\sin2\beta}=
=\frac{\frac{R\sin(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha\cos\gamma}}{4\sin\beta\cos\beta}=\frac{\frac{R\sin(180^{\circ}-\alpha-\gamma)}{\cos\alpha\cos\gamma}}{4\sin\beta\cos\beta}=\frac{\frac{R\sin\beta}{\cos\alpha\cos\gamma}}{4\sin\beta\cos\beta}=\frac{R}{4}\cdot\frac{1}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}.
Пусть k
— искомый коэффициент подобия. Тогда (см. задачу 2602)
k=\frac{\frac{R}{2}}{R_{1}}=\frac{\frac{R}{2}}{\frac{R}{4}\cdot\frac{1}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}=2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.
Что и требовалось доказать.