13013. Докажите, что точка Нагеля треугольника ABC
(см. задачу 4284) совпадает с центром вписанной окружности треугольника, образованного прямыми, проведёнными через вершины A
, B
и C
параллельно сторонам BC
, AC
и AB
соответственно.
Решение. Первый способ. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC
касаются сторон BC=a
, AC=b
и AB
в точках K
, L
и M
соответственно. Тогда отрезки AK
, BL
и CM
пересекаются в точке N
Нагеля треугольника ABC
.
Пусть прямая l
, проведённая через вершину A
параллельно BC
, пересекается с продолжением отрезка CM
в точке P
, K_{1}
и M_{1}
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC
и AB
соответственно. Обозначим AP=f
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
CK=BK_{1}=p-AC=p-b,~AM=BM_{1}=p-b,~BM=AM_{1}=p-a.
(см. задачи 4805 и 219).
Из подобия треугольников ANP
и KNC
получаем, что
\frac{AN}{NK}=\frac{AP}{CK}=\frac{f}{p-b},
а из подобия треугольников AMP
и BMC
—
\frac{AP}{AM}=\frac{BC}{BM},~\mbox{или}~\frac{f}{p-b}=\frac{a}{p-a}.
Значит, \frac{AN}{NK}=\frac{a}{p-a}
.
Пусть NE
— перпендикуляр к высоте AH=h
треугольника ABC
, AE=x
, а прямая, проходящая через точку N
параллельно AH
, пересекает прямые l
и BC
в точках D
и Q
соответственно. Из подобия прямоугольных треугольников NDK
и AEN
получаем
\frac{AN}{NK}=\frac{AE}{ND}=\frac{AE}{AH-AE}=\frac{x}{h-x}.
Таким образом,
\frac{a}{p-a}=\frac{x}{h-x},
откуда
x=\frac{ah}{p}=\frac{2S_{\triangle ABC}}{p}=2r,
где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Значит, расстояние от точки N
до стороны B_{1}C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, образованного прямыми, проведёнными через вершины A
, B
и C
параллельно сторонам BC
, AC
и AB
соответственно, равно 2r
. Следовательно, N
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
Второй способ. При гомотетии H_{M}^{-2}
с центром в точке M
пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -2
треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, образованный прямыми, проходящими через вершины A
, B
и C
параллельно сторонам BC
, AC
и AB
соответственно. При этом центр I
вписанной окружности треугольника ABC
переходит в центр I'
вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда точка I'
лежит на продолжении отрезка IM
за точку M
, причём MI'=2IM
, а значит, совпадает с точкой Нагеля треугольника ABC
(см. задачу 4550). Следовательно, точка Нагеля — центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.