13171. Трапеция KLMN
вписана в окружность радиуса R
и описана около окружности радиуса r
, причём R=\frac{3}{2}r
. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ KM
равна 3.
Ответ. \sqrt{10}-1
.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной описанной трапеции на основание равна средней линии трапеции (см. задачи 1930 и 1921).
Решение. Пусть O
и Q
— центр соответственно описанной и вписанной окружностей трапеции KLMN
. Поскольку около трапеции описана окружность, эта трапеция равнобедренная (см. задачу 5003). Значит, проекция KH
диагонали KM
трапеции на основание KN
равна полусумме оснований, т. е. средней линии l
трапеции (см. задачу 1921), а так как в эту трапецию вписана окружность, то боковая сторона трапеции тоже равна средней линии (см. задачу 1939).
Первый способ. Пусть A
— середина боковой стороны MN
трапеции. Тогда OA
— серединный перпендикуляр к MN
. Из прямоугольного треугольника MOA
получаем
OA=\sqrt{OM^{2}-AM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{l^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}r^{2}-\frac{l^{2}}{4}}.
Пусть B
— точка касания боковой стороны MN
с вписанной окружностью трапеции. Тогда QB\perp MN
и QB=r
. Поскольку \angle BQA=\angle QAO
, прямоугольные треугольники BQA
и QAO
подобны, поэтому
\frac{QB}{QA}=\frac{QA}{OA},~\mbox{или}~\frac{r}{\frac{l}{2}}=\frac{\frac{l}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}r^{2}-\frac{l^{2}}{4}}},
откуда
r\sqrt{\frac{9}{4}r^{2}-\frac{l^{2}}{4}}=\frac{1}{4}l^{2}.
После возведения в квадрат и очевидных упрощений получаем уравнение
36r^{4}-4l^{2}r^{2}-l^{4}=0.
Его положительный корень — r^{2}=\frac{l^{2}(\sqrt{10}+1)}{18}
.
С другой стороны, из прямоугольного треугольника KHM
получаем
4r^{2}=MH^{2}=MK^{2}-KH^{2}=9-l^{2},
откуда r^{2}=\frac{1}{4}(9-l^{2})
. Из уравнения
\frac{l^{2}(\sqrt{10}+1)}{18}=\frac{1}{4}(9-l^{2})
находим, что
l^{2}=\frac{81}{\sqrt{10}+11}=\frac{81}{(\sqrt{10}+1)^{2}}.
Следовательно,
l=\sqrt{\frac{81}{(\sqrt{10}+1)^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{10}+1}=\sqrt{10}-1.
Второй способ. Обозначим \angle MKN=\alpha
. Из прямоугольного треугольника MHN
получаем
\sin\alpha=\frac{MH}{KM}=\frac{2r}{3}.
По теореме синусов
l=2R\sin\alpha=3r\cdot\frac{2}{3}r=2r^{2}.
По теореме Пифагора
9=KM^{2}=KH^{2}+MH^{2}=l^{2}+4r^{2}=4r^{4}+4r^{2}.
Положительный корень уравнения 4r^{4}+4r^{2}-9=0
— это r^{2}=\frac{\sqrt{10}-2}{2}
. Следовательно,
l=2r^{2}=\sqrt{10}-1.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2013, июль, вариант 4, № 6