13264. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Точка I_{A}
— центр вневписанной со стороны BC
окружности треугольника ABC
, а точки K
и L
— середины отрезков DI_{A}
и EI_{A}
соответственно. Прямые BK
и CL
пересекаются в точке F
, лежащей внутри угла BAC
. Найдите \angle BFC
, если \angle BAC=50^{\circ}
.
Ответ. 130^{\circ}
.
Решение. Пусть X
и Y
— точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон AB
и AC
соответственно. Прямоугольные треугольники DXI_{A}
и EYI_{A}
симметричны относительно биссектрисы угла A
, а так как
KD=KL=\frac{1}{2}DX=\frac{1}{2}EY=LY=LE
(см. задачу 1109), то равны и равнобедренные треугольники DKX
и YLE
. При этом для точек B
и C
, лежащих на их основаниях, верно равенство BD=CY=p-b
, где p
— полупериметр треугольника ABC
, а b=AC
(см. задачи 219 и 1750). Тогда равны треугольники BDK
и CYL
, поэтому
\angle KBD=\angle LCY=180^{\circ}-\angle ACF.
Значит, ABFC
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 49). Следовательно (см. задачу 6),
\angle BFC=180^{\circ}-\angle BAC=130^{\circ}.