13344. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \gamma
. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках AB
и CD
как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке S
. Пусть точки M
и N
— середины отрезков AB
и CD
соответственно. Докажите, что перпендикуляр l
к прямой MN
, восставленный в точке M
, пересекает прямую CS
в точке, лежащей на \gamma
.
Решение. Обозначим окружности с диаметрами AB
и CD
через \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Заметим, что точка S
лежит на отрезке MN
(см. задачу 1758). Пусть прямые CS
и DS
пересекают прямую l
в точках P
и Q
соответственно. Отрезок CD
— диаметр окружности \omega_{2}
, поэтому
\angle PSQ=\angle CSD=90^{\circ}.
В прямоугольном треугольнике PSQ
отрезок SM
— высота, поэтому
\angle MSP=90^{\circ}-\angle SPM=\angle SQP.
С другой стороны, NS=NC
, поэтому
\angle SCD=\angle CSN=\angle MSP.
Таким образом,
\angle SCD=\angle MSP=\angle SQP,
следовательно (см. задачу 12), точки P
, Q
, C
и D
лежат на одной окружности \gamma'
.
Пусть теперь прямая MC
пересекает окружности \gamma
и \gamma'
в точках X
и X'
соответственно (точка M
лежит на отрезках CX
и CX'
). Тогда (см. задачу 2627)
MC\cdot MX=MA\cdot MB=MS^{2},
поскольку M
— центр окружности \omega_{1}
С другой стороны,
MC\cdot MX'=MP\cdot MQ=MS^{2}
(см. задачу 2728). Значит,
MC\cdot MX=MS^{2}=MC\cdot MX',
и точки X
и X'
совпадают. При этом точка X
отлична от C
и D
, так как M
не лежит на CD
, поэтому окружности \gamma
и \gamma_{1}
имеют три общих точки C
, D
, X
, а значит, они совпадают. Следовательно, точка P
лежит на окружности \gamma
. Что и требовалось доказать.
Автор: Почепцов И. С.
Автор: Бродский Д. В.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, региональный этап, первый день, задача 5, 9 класс