13358. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
; A_{2}
— точка касания вписанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
со стороной B_{1}C_{1}
; аналогично определяются точки B_{2}
, C_{2}
. Докажите, что прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть a
, b
, c
, p
— стороны и полупериметр треугольника ABC
. Треугольники AB_{1}C_{1}
и ABC
подобны (см. задачу 19), поэтому \frac{B_{1}A_{2}}{A_{2}C_{1}}=\frac{p-b}{p-c}
(см. задачи 2602 и 219). Аналогично получаем, что
\frac{C_{1}B_{2}}{B_{2}A_{1}}=\frac{p-c}{p-a},~\frac{A_{1}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{p-a}{p-b}.
Тогда
\frac{B_{1}A_{2}}{A_{2}C_{1}}\cdot\frac{C_{1}B_{2}}{B_{2}A_{1}}\cdot\frac{A_{1}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{p-b}{p-c}\cdot\frac{p-c}{p-a}\cdot\frac{p-a}{p-b}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются в одной точке.