13458. В остроугольном треугольнике ABC
прямая OI
, проходящая через центры O
и I
соответственно описанной и вписанной окружностей, параллельна стороне BC
. Докажите, что центр окружности девяти точек треугольника ABC
лежит на прямой MI
, где M
— середина стороны BC
.
Решение. Пусть K
и T
— точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей со стороной BC
. Тогда MT=MK
(см. задачу 4805).
Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, D
— точка вписанной окружности, диаметрально противоположная точке K
, E
— центр окружности девяти точек. Тогда E
— середина отрезка OH
(см. задачу 174), точки A
, D
и T
лежат на одной прямой (см. задачу 6411), а AH=2OM
(см. задачу 1257).
Поскольку I
— середина диаметра KD
, а M
— середина отрезка KT
, то MI
— средняя линия треугольника DKT
, поэтому MI\parallel AT
.
Пусть прямая MI
пересекает высоту AA_{1}
треугольника ABC
в точке Q
. Тогда MQ\parallel OA
и OM\parallel AQ
, поэтому DAQI
— параллелограмм. Кроме того, из параллельности OI
и BC
следует, что OM=IK=r
, где r
радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Значит, AQ=OM=r
, и
HQ=AH-AQ=2OM-AQ=2r-r=r=OM.
Противоположные стороны OM
и HQ
четырёхугольника OMHQ
равны и параллельны, значит, это тоже параллелограмм. Середина E
его диагонали OH
лежит на диагонали MQ
, проходящей через точку I
. Отсюда следует утверждение задачи.