13519. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
. Пусть r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
— радиусы вписанных окружностей треугольников BHC
, AHC
и AHB
соответственно, а r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC
, противоположных сторонам BC=a
, AC=b
и AB=c
соответственно. Докажите, что
r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{a}+r_{b}+r_{b}=a+b+c.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. Тогда (см. задачи 3228 и 4314)
r=R(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1),~r_{a}=R(\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha+1).
Аналогично,
r_{b}=R(\cos\alpha+\cos\gamma-\cos\beta+1),~r_{c}=R(\cos\beta+\cos\alpha-\cos\gamma+1).
После сложения получаем
r_{a}+r_{b}+r_{c}=R(3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma).
Докажем, что
r_{1}=R(\sin\beta+\sin\gamma-\cos\alpha-1).
Действительно, радиус описанной окружности треугольниках BHC
равен R
(см. задачу 5046), а так как углы при вершинах B
, C
и H
треугольника BHC
равны соответственно
90^{\circ}-\gamma,~90^{\circ}-\beta,~180^{\circ}-\alpha,
то (см задачу 3238)
r_{1}=R(\cos(90^{\circ}-\beta)+\cos(90^{\circ}-\gamma)+\cos(180^{\circ}-\alpha)+\cos\beta-1)=
=R(\sin\beta+\sin\gamma-\cos\alpha-1).
Что и требовалось доказать.
Аналогично,
r_{2}=R(\sin\alpha+\sin\gamma-\cos\beta-1),~r_{3}=R(\sin\alpha+\sin\beta-\cos\gamma-1).
Значит,
r_{1}+r_{2}+r_{3}=R(\sin\beta+\sin\gamma-\cos\alpha-1)+
=R(\sin\alpha+\sin\gamma-\cos\beta-1)+R(\sin\alpha+\sin\beta-\cos\gamma-1)=
=R(2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin\gamma-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma-3).
Следовательно,
r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{a}+r_{b}+r_{b}=
=R(2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin\gamma-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma-3)+
+R(3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)=
=2R\sin\alpha+2R\sin\beta+2R\sin\gamma=a+b+c
(см. задачу 23). Что и требовалось.