13692. Точки D
и E
расположены на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, причём DE\parallel BC
. Пусть P
— произвольная точка внутри треугольника ABC
, прямые PB
и PC
пересекают DE
в точках F
и G
соответственно, а точки O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников PDG
и PFE
соответственно. Докажите, что AP\perp O_{1}O_{2}
.
Решение. Пусть точка D
лежит на стороне AB
, а точка E
— на стороне AC
; \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
— окружности с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
, описанные около треугольников PDG
и PFE
соответственно; Q
— точка пересечения этих окружностей, отличная от P
. Тогда O_{1}O_{2}\perp PQ
(см. задачу 1130).
Пусть H
и K
— точки пересечения прямой AP
с отрезками DE
и BC
соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597) \frac{DH}{HE}=\frac{BK}{KC}
и \frac{FH}{HG}=\frac{BK}{KC}
, значит, \frac{DH}{HE}=\frac{FH}{HG}
, или DH\cdot HG=FH\cdot HE
, т. е. равны степени точки H
относительно окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
. Следовательно, точка H
лежит на радикальной оси этих окружностей, т. е. на прямой PQ
(см. задачи 6391 и 6392).
Итак, точки P
, H
и Q
лежат на одной прямой, и точки A
, P
и H
лежат на одной прямой. Следовательно, точки A
, P
и Q
лежат на одной прямой, а так как O_{1}O_{2}\perp PQ
, то O_{1}O_{2}\perp AP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 2, задача 2, с. 68
Источник: Иранские математические олимпиады. — 1995