13858. Через точку T
, лежащую на окружности с диаметром PQ
, проведена касательная t
к этой окружности. Касательные p
и q
, проведённые в точках P
и Q
, пересекают прямую t
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что точки A
, M
и N
лежат на одной прямой.
Решение. Докажем следующее утверждение, равносильное сформулированному выше. Пусть T
— точка на окружности с диаметром P
, а p
и q
— касательные к этой окружности, проведённые в точках P
и Q
соответственно. Прямые PT
и q
пересекаются в точке N
, прямые QT
и p
— в точке M
, а прямые PQ
и MN
— в точке A
. Тогда прямая AT
— касательная к окружности с диаметром PQ
.
Пусть прямая AT
пересекает прямую p
в точке U
. По теореме Чевы
\frac{MU}{UP}\cdot\frac{PQ}{QA}\cdot\frac{AN}{NM}=1,
а так как p\parallel q
, то \frac{PQ}{QA}=\frac{NM}{AN}
, поэтому \frac{MU}{UP}=1
, т. е. MU=UP
. Медиана AU
треугольника APM
делит пополам отрезок QN
, параллельный PM
(см. задачу 2607), значит, точка V
пересечения AU
и NQ
— середина отрезка QN
.
Точка T
лежит на окружности с диаметром PQ
, поэтому
\angle MTP=\angle MTN=\angle PTQ=90^{\circ}.
Тогда TU=\frac{1}{2}MP=UP
и TV=\frac{1}{2}NQ=VQ
(см. задачу 1109). Значит, расстояние между центрами U
и V
окружностей с диаметрами MP
и NQ
, проходящих через точку T
, равно сумме их радиусов. Следовательно, эти окружности касаются внешним образом в точке T
(см. задачу 1760).
Пусть общая касательная этих окружностей, проходящая через точку T
, пересекает прямую PQ
в точке O
. Тогда OP=OT=OQ
, поэтому O
— центр окружности с диаметром PQ
. Радиус OT
окружности, перпендикулярен прямой AT
, следовательно, AT
— касательная к этой окружности (см. задачу 1753).