13936. Полупериметр треугольника ABC
равен p
, а расстояния от точки пересечения медиан до сторон треугольника равны x
, y
и z
. Докажите, что
\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leqslant\frac{p}{\sqrt{3}}.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, S
— площадь треугольника, а R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно. Пусть x
, y
и z
— расстояния от точки G
пересечения медиан до сторон BC
, AC
и AB
соответственно.
Поскольку
S_{\triangle BMC}=\frac{1}{3}S=\frac{1}{2}BC\cdot x=\frac{1}{2}ax,
то x=\frac{2S}{3a}
. Аналогично, y=\frac{2S}{3b}
и z=\frac{2S}{3c}
.
Учитывая, что S=pr=\frac{abc}{4R}
(см. задачи 452 и 4259), неравенство для среднего арифметического и среднего квадратичного трёх положительных чисел (см. примечание к задаче 3399) и неравенство R\geqslant2r
(см. задачу 3587), получим
\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{2S}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\right)=
=2S\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\right)\leqslant2S\sqrt{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)}=
=2S\sqrt{\frac{a+b+c}{3abc}}=2pr\sqrt{\frac{2p}{3\cdot4Rrp}}=2pr\sqrt{\frac{1}{6Rr}}=p\sqrt{\frac{2}{3}\cdot\frac{r}{R}}\leqslant\frac{p}{\sqrt{3}}.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
, т. е. когда треугольник ABC
равносторонний.
Примечание. Можно также применить неравенство h_{a}+h_{b}+h_{c}\leqslant p\sqrt{3}
, где h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника ABC
(см. задачу 4887).