4887. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, проведённые к сторонам соответственно a
, b
, c
треугольника; l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
— соответствующие биссектрисы треугольника; r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы соответствующих вневписанных окружностей; r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей; p
— полупериметр треугольника. Докажите, что
9r\leqslant h_{a}+h_{b}+h_{c}\leqslant l_{a}+l_{b}+l_{c}\leqslant p\sqrt{3}\leqslant r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R.
В каком случае каждое из неравенств обращается в равенство?
Указание. См. задачи 3585, 3229, 4886 и 3240.
Решение. Применив неравенства
h_{a}+h_{b}+h_{c}\geqslant9r,
(см. задачу 3585),
l_{a}+l_{b}+l_{c}\leqslant p\sqrt{3},
(см. задачу 3229),
r_{a}+r_{b}+r_{c}\geqslant p\sqrt{3},
(см. задачу 4886), очевидное неравенство
h_{a}+h_{b}+h_{c}\leqslant l_{a}+l_{b}+l_{c}
и равенство
r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R
(см. задачу 3240), получим требуемый результат.
Каждое из неравенств превращается в равенство тогда и только тогда, когда a=b=c
, т. е. когда треугольник равносторонний.