14006. Основание прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. Найдите расстояние между прямыми AB_{1}
и CD_{1}
, если AA_{1}=AB=BC=CD=\frac{1}{2}AD=1
.
Ответ. \frac{3}{\sqrt{17}}
.
Решение. Достроим данную прямую призму до правильной шестиугольной (см. задачу 14005). Поскольку AB_{1}\parallel ED_{1}
, прямая AB_{1}
параллельна плоскости ED_{1}C
(см. задачу 8002, поэтому расстояние d
между прямыми AB_{1}
и CD_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой AB_{1}
, например, от A
, до этой плоскости (см. задачу 7889). Отрезок AD
делится плоскостью ED_{1}C
в отношении 3:1
, считая от точки A
, поэтому расстояние от точки A
до плоскости EDC_{1}
в три раза больше расстояния от этой плоскости до точки D
(см. задачу 9180).
Пусть P
— точка пересечения прямой AD
с плоскостью ED_{1}C
, т. е. точка пересечения прямых AD
и EC
. Тогда D_{1}P
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника ED_{1}C
. Тогда расстояние от точки D
до плоскости EDC_{1}
равно высоте DH
прямоугольного треугольника DPD_{1}
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1967)
d=3DH=3\cdot\frac{DP\cdot DD_{1}}{D_{1}P}=3\cdot\frac{DP\cdot DD_{1}}{\sqrt{DP^{2}+DD_{1}^{2}}}=3\cdot\frac{\frac{1}{4}\cdot1}{\sqrt{\frac{1}{16}+1}}=\frac{3}{\sqrt{17}}.