14009. Точка M
— середина ребра AB
прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Точка X
принадлежит прямой CM
. Найдите наименьшее значение площади треугольника BXC_{1}
, если AC=BC=9
, AB=10
и CC_{1}=12
.
Ответ. \frac{450}{13}
.
Решение. Пусть XY
— высота треугольника ABC
. Тогда его площадь S=\frac{1}{2}BC_{1}\cdot XY
минимальна, если минимален отрезок XY
с концами на скрещивающихся прямых CM
и BC_{1}
, т. е. когда XY
— общий перпендикуляр этих прямых (см. 7423). Таким образом, задача сводится к вычислению длины общего перпендикуляра скрещивающихся прямых CM
и BC_{1}
, т. е. расстояния между этими прямыми.
По теореме Пифагора
BC_{1}=\sqrt{BC^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{81+144}=15.
Пусть M_{1}
— середина ребра A_{1}B_{1}
. Поскольку C_{1}M_{1}\parallel CM
, прямая CM
параллельна плоскости BC_{1}M_{1}
, содержащей прямую C_{1}M_{1}
(см. задачу 8002). Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми CM
и BC_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой CM
, например, от точки M
, до плоскости BC_{1}M_{1}
(см. задачу 7889).
Пусть MN
— перпендикуляр к BM_{1}
. Поскольку призма прямая, MN\perp C_{1}M_{1}
, поэтому MN
— перпендикуляр к плоскости BC_{1}M_{1}
, и искомое расстояние между прямыми CM
и BC_{1}
равно длине отрезка MN
. Из прямоугольного треугольника BMM_{1}
находим (см. задачу 1967), что
MN=\frac{BM\cdot MM_{1}}{BM_{1}}=\frac{BM\cdot MM_{1}}{\sqrt{BM^{2}+MM_{1}^{2}}}=\frac{5\cdot12}{\sqrt{25+144}}=\frac{60}{13}.
Следовательно,
S_{\min}=\frac{1}{2}BC_{1}\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot15\cdot\frac{60}{13}=\frac{450}{13}.